Mettete a bagno i fagioli e l'orzo per 12 ore in abbondante acqua fredda. Tritate finemente la cipolla, l'aglio, il sedano e il rosmarino. Mettete il trito in una pentola alta e soffriggetelo con l'olio e il burro. Unite, l'orzo e i fagioli, mescolate bene ed aggiungete il brodo bollente. Unite anche la polpa di pomodoro, la carota tagliata a rondelle e le patate tagliate a cubetti. Regolate la zuppa di sale e pepe. Cuocete per un paio di ore a fuoco lento. Servite la zuppa d'orzo con abbondante parmigiano grattugiato e fette di pane tostato.